導(dǎo)讀：分別介紹雷諾數(shù)和馬赫數(shù)的物理意義，分析他們對(duì)流動(dòng)的具體影響。

雷諾數(shù)
我們已經(jīng)知道，雷諾數(shù)的表達(dá)式是這樣的： 表達(dá)式中的  是流體的粘性系數(shù)，所以雷諾數(shù)與粘性有關(guān)。粘性是流體運(yùn)動(dòng)時(shí)內(nèi)部產(chǎn)生剪切力的象征，所以雷諾數(shù)就表示了粘性力的大小了。還有慣性力，書(shū)上說(shuō)，雷諾數(shù)表示了慣性力與粘性力之比。慣性力是速度的變化強(qiáng)度，所以雷諾數(shù)就表示了粘性力對(duì)流動(dòng)的影響程度。粘性從而產(chǎn)生剪切力，還有一個(gè)額外的影響是流態(tài)。低雷諾數(shù)時(shí)流動(dòng)傾向于層流，高雷諾數(shù)時(shí)流動(dòng)傾向于塔留，這是粘性作為阻尼作用對(duì)流動(dòng)的影響。

 

 

歷史上，雷諾數(shù)的提出經(jīng)過(guò)了幾個(gè)階段，最先提出這個(gè)概念的人是斯托克斯，就是NS方程中的S；當(dāng)然雷諾數(shù)名字來(lái)源于雷諾，是他首先提出雷諾數(shù)數(shù)的表達(dá)式；但是真正把這個(gè)無(wú)量綱數(shù)稱(chēng)為雷諾數(shù)的人，是研究了流體穩(wěn)定性的索末菲。我們來(lái)看一下雷諾數(shù)為什么表示了慣性力與粘性力之比，把雷諾數(shù)的分子和分母分別乘以速度和尺度，整理后，得到這樣的表達(dá)式： 分子中密度與尺度三次方相乘表示了質(zhì)量，速度平方與尺度的比值表示了加速度。分子中的兩項(xiàng)則分別表示了剪切應(yīng)力和面積，這樣就可以看出分子表示了慣性力的大小，分母表示了粘性力的大小。
 

下面我們?cè)诿枋鲞\(yùn)動(dòng)的NS次方程中看看雷諾數(shù)的影響。這是簡(jiǎn)化的x方向動(dòng)量方程： 現(xiàn)在因?yàn)橐恍┝鲌?chǎng)的特征量來(lái)對(duì)其進(jìn)行無(wú)量綱化： 假設(shè)直到  為流場(chǎng)特征量，帶星的變量就是無(wú)量綱的了。將這些關(guān)系式代入到上面的方程中，整理后就得到了無(wú)量綱的方程： 無(wú)量綱方程可以用來(lái)描述任何幾何相似，邊界條件相同的流動(dòng)。可以看到，相比有量綱方程，無(wú)量綱方程中多了兩項(xiàng)，這兩項(xiàng)分別對(duì)應(yīng)兩個(gè)無(wú)量綱數(shù)，一個(gè)是歐拉數(shù)  ，一個(gè)是雷諾數(shù)的倒數(shù)  。歐拉數(shù)表示了壓力與慣性力之比，當(dāng)使用壓差力分析問(wèn)題時(shí)并不起作用，所以影響整個(gè)方程的就只剩下雷諾數(shù)了。雷諾數(shù)影響無(wú)量綱方程預(yù)示著幾何相似的流動(dòng)，如果雷諾數(shù)不同，流動(dòng)就不同。雷諾數(shù)出現(xiàn)在粘性項(xiàng)的分母中，它越大，粘性項(xiàng)的影響就越小。當(dāng)雷諾數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于1時(shí)，粘性力趨向于零。這時(shí)，運(yùn)動(dòng)只由壓差力決定： 可以想象這對(duì)應(yīng)于流動(dòng)符合伯努利方程的情況。當(dāng)雷諾數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1時(shí)，粘性力非常大，任何壓差產(chǎn)生的驅(qū)動(dòng)力都會(huì)被幾乎同等大小的粘性力抵消，所以流體很難產(chǎn)生加速度。可以說(shuō)毫無(wú)慣性可言，慣性力是可以忽略。這時(shí)粘性力與壓差力平衡： 這種流動(dòng)非常符合亞里士多德的描述，就是力是維持物體運(yùn)動(dòng)的原因，一旦驅(qū)動(dòng)力消失，巨大的粘性力就會(huì)立刻讓運(yùn)動(dòng)停下來(lái)，一步也不多走。這里給出了一些常見(jiàn)運(yùn)動(dòng)的雷諾數(shù)：

 

 

下面是液體中，上面是氣體中。雷諾數(shù)遠(yuǎn)小于1的流動(dòng)又稱(chēng)為蠕動(dòng)流，也稱(chēng)為斯托克斯流動(dòng)；還有一些運(yùn)動(dòng)的雷諾數(shù)不高，粘性力也不算大，流動(dòng)為層流；而常見(jiàn)的多數(shù)流動(dòng)雷諾數(shù)比較大，處于湍流區(qū)。以繞圓球流動(dòng)為例，這是其阻力系數(shù)隨雷諾數(shù)的變化規(guī)律。在低雷諾數(shù)范圍內(nèi)，隨著雷諾數(shù)的增大，粘性作用減弱，阻力迅速變小。當(dāng)雷諾數(shù)達(dá)到一定范圍后阻力不再隨雷諾數(shù)變化。

 

 

再增加雷諾數(shù)，阻力還會(huì)有突然減小然后又突然增大的現(xiàn)象。規(guī)律這么復(fù)雜的原因是阻力并不僅僅由粘性力構(gòu)成。在蠕動(dòng)流狀態(tài)下，流體繞球流動(dòng)，看起來(lái)前后是對(duì)稱(chēng)的，其實(shí)并不完全是。前后的流速是對(duì)稱(chēng)的，但壓力并不對(duì)稱(chēng)。這時(shí)流動(dòng)阻力主要是由流體與球表面之間的摩擦力造成的。在中等雷諾數(shù)下流動(dòng)為層流，但非定常性可能很強(qiáng)。這時(shí)，流體繞過(guò)球后形成規(guī)則的脫落渦，即卡門(mén)渦街：

 

 

球除了受到阻力之外，還受到周期性的橫向激振力。湍流是更常見(jiàn)的流動(dòng)，比如這個(gè)網(wǎng)球后的流動(dòng)。網(wǎng)球后的流動(dòng)很亂，找不到規(guī)律，這時(shí)球的阻力主要由前后的壓差力產(chǎn)生，摩擦力只占一小部分。定量來(lái)看，蠕動(dòng)流中粘性力產(chǎn)生的摩擦阻力占總阻力的三分之二，而一般的高雷諾數(shù)下摩擦阻力只占總阻力的10%或更少。湍流中的雷諾數(shù)：我們知道，湍流都是對(duì)應(yīng)很高的雷諾數(shù)。也就是粘性力很小的時(shí)候，由于其內(nèi)部存在著復(fù)雜的剪切流動(dòng)結(jié)構(gòu)，湍流對(duì)雷諾數(shù)的變化是很敏感的。比如在這個(gè)火山噴發(fā)的湍流流動(dòng)中，含有復(fù)雜的大大小小的渦團(tuán)。圓圈所示的大概是這個(gè)流動(dòng)中最大的渦團(tuán)尺寸。

 

 

放大仔細(xì)看，這樣的小渦流大概是流動(dòng)中最小的。

 

 

渦團(tuán)這個(gè)小渦的尺寸實(shí)際上是受雷諾數(shù)影響的，因?yàn)檎承院纳��?huì)讓過(guò)小的渦迅速停下來(lái)，宏觀動(dòng)能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能。雷諾數(shù)越大，粘性作用越小，渦可以維持的尺寸就越小。流場(chǎng)中的大渦尺寸是由邊界條件決定的，比如這個(gè)流動(dòng)中的大渦尺寸是由火山口的尺寸決定的。對(duì)于下面這種剪切流動(dòng)，從下至上雷諾數(shù)越來(lái)越大。

 

 

大渦的尺寸不變，而小渦的尺寸越來(lái)越小，最下面的流動(dòng)其實(shí)是層流流動(dòng)，因?yàn)橹挥写鬁u而沒(méi)有小渦，最上面的流動(dòng)含有豐富的小渦，是典型的湍流。對(duì)于湍流可以總結(jié)出這樣一個(gè)關(guān)系式：   表示大渦尺寸，  表示小渦尺寸，可見(jiàn)增大雷諾數(shù)可以拉開(kāi)大小渦的差距。這也可以用來(lái)理解為什么低雷諾數(shù)對(duì)應(yīng)著層流，因?yàn)榈屠字Z數(shù)下小渦尺寸和大渦差距不大，形不成能級(jí)傳遞過(guò)程。雷諾數(shù)表達(dá)式中的速度和尺度是一個(gè)容易讓人困惑的問(wèn)題。書(shū)上說(shuō)，應(yīng)該用特征，速度和特征尺度。 可是，啥是特征呢？這個(gè)問(wèn)題還真不簡(jiǎn)單，要具體問(wèn)題具體分析。不過(guò)我們可以看看選取原則。對(duì)于平板邊界層流動(dòng)，一般經(jīng)常選用的是流向長(zhǎng)度。而實(shí)際上更合理的尺度是當(dāng)?shù)氐倪吔鐚雍穸龋�因�(yàn)樗�與當(dāng)?shù)卣承粤χ苯酉嚓P(guān)。想起流向長(zhǎng)度完全是為了方便并不是很合理。不過(guò)，考慮到邊界層厚度和流向長(zhǎng)度有一定關(guān)系，選取流向長(zhǎng)度也是可以接受的。

 

 

對(duì)于管流，距進(jìn)口足夠遠(yuǎn)處的流動(dòng)與進(jìn)口無(wú)關(guān)，就不能選取流向長(zhǎng)度了。這時(shí)最方便也比較合理的尺度，是管道直徑。對(duì)于繞機(jī)翼和繞圓柱流動(dòng)，通常選取弦長(zhǎng)和圓柱直徑，也是考慮方便性，其實(shí)這兩種流動(dòng)中更合理的尺度也是邊界層厚度。

 

 

馬赫數(shù)
現(xiàn)在我們來(lái)看看影響流動(dòng)的另一個(gè)重要的無(wú)量綱數(shù)-馬赫數(shù)。馬赫數(shù)是運(yùn)動(dòng)速度與當(dāng)?shù)匾羲僦�比，是馬赫提出來(lái)的： 對(duì)于理想氣體因素，只與氣體種類(lèi)和溫度有關(guān)： 音速是聲音的傳播速度，也就是氣體中小的壓力擾動(dòng)的傳播速度。這個(gè)傳播速度大概與氣體分子的平均熱運(yùn)動(dòng)速度相當(dāng)。當(dāng)飛機(jī)在空氣中運(yùn)動(dòng)時(shí)，它時(shí)刻都對(duì)空氣產(chǎn)生小擾動(dòng)，擾動(dòng)以音速傳播。如果飛機(jī)的運(yùn)動(dòng)速度沒(méi)有聲音快，聲音就會(huì)比飛機(jī)更早到達(dá)前方。如果有人處在亞音速飛機(jī)的前方，通過(guò)聲音就可以知道飛機(jī)來(lái)了。如果飛機(jī)的運(yùn)動(dòng)速度比聲音還快，它就會(huì)比聲音更早到達(dá)前方。如果有人處在超音速飛機(jī)的前方，他是無(wú)法通過(guò)聲音直到飛機(jī)來(lái)了的。

 

 

物體運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)推擠ta前面的空氣,產(chǎn)生的壓力波會(huì)'通知'前方的氣體讓路。若物體運(yùn)動(dòng)速度太快，前方氣體來(lái)不及跑就會(huì)被壓縮。如果讓大氣靠自身的膨脹加速流動(dòng)，則其速度與對(duì)馬赫數(shù)的關(guān)系是這樣的：

 

 

可以看出，當(dāng)馬赫數(shù)達(dá)到10時(shí)，速度只有每秒七百多米。事實(shí)上這樣加速下去，理論上馬赫數(shù)無(wú)窮大時(shí)流速也不到每秒八百米。超高的馬赫數(shù)其實(shí)是膨脹降溫引起的音速降低產(chǎn)生的可見(jiàn)，馬赫數(shù)并不對(duì)應(yīng)速度的大小，因?yàn)橐羲俨⒉皇浅��?shù)。為了理解馬赫數(shù)的物理意義，我們先來(lái)看另一個(gè)無(wú)量綱數(shù)科西數(shù)。這是柯西數(shù)的表達(dá)式： 它的定義是氣體中的慣性力與彈性力之比，其中的體積彈性模量E與體積變化和產(chǎn)生的壓力有關(guān)： 通過(guò)一些關(guān)系式的變化，可以導(dǎo)出科西數(shù)等于馬赫數(shù)的平方： 所以我們也可以說(shuō)，馬赫數(shù)表示了慣性力與彈性力之比。在流動(dòng)中，馬赫數(shù)的大小體現(xiàn)了氣體在慣性力作用下受壓縮的程度。這里給出了一些常見(jiàn)運(yùn)動(dòng)的馬赫數(shù)范圍，可以根據(jù)馬赫數(shù)范圍，把流動(dòng)分為不可壓縮流動(dòng)，亞音速，超音速和高超音速。

 

 

基本上所有生物的活動(dòng)都屬于不可壓流動(dòng)，這時(shí)馬赫數(shù)不影響流動(dòng)。亞音速流動(dòng)中馬赫數(shù)對(duì)流動(dòng)的影響主要是壓縮性方面；跨音速流動(dòng)的主要特點(diǎn)是出現(xiàn)了激波；超音速流動(dòng)受激波影響，并且出現(xiàn)了壓縮和摩擦引起的氣動(dòng)加熱問(wèn)題；高超音速流動(dòng)則由于氣動(dòng)加熱溫度過(guò)高，還產(chǎn)生了氣體電離等問(wèn)題。這是幾種形狀的物體的阻力系數(shù)，隨馬赫數(shù)的變化： 

 

 

在亞音速范圍內(nèi)，完全沒(méi)有激波時(shí)，阻力系數(shù)就已經(jīng)隨馬赫數(shù)而增大了，這完全是由壓縮性帶來(lái)的，可以用壓力系數(shù)定義是來(lái)解釋?zhuān)�這是可壓縮流動(dòng)中的總靜壓關(guān)系：  除了慣性力產(chǎn)生的動(dòng)壓之外，額外的項(xiàng)是彈性力帶來(lái)的，也就是說(shuō)，減速時(shí)彈性力會(huì)帶來(lái)額外的壓力。根據(jù)壓力系數(shù)的定義： 如果流動(dòng)是不可壓縮的，滯止點(diǎn)的  等于1，如果流動(dòng)是可壓縮的，滯止點(diǎn)的  大于1。也就是說(shuō)，壓縮性使同樣的減速產(chǎn)生更大的壓力，從而帶來(lái)更大的阻力。至于跨音速和超音速時(shí)阻力系數(shù)大，原因則是激波阻力產(chǎn)生的。

雷諾數(shù)與馬赫數(shù)對(duì)流動(dòng)的影響
 真實(shí)流動(dòng)中。雷諾數(shù)和馬赫數(shù)是同時(shí)起作用的，我們分幾種情況分析一下，首先來(lái)看一個(gè)有點(diǎn)奇怪的問(wèn)題——伯努利方程適用的雷諾數(shù)和馬赫數(shù)范圍是什么？伯努利寫(xiě)的流體力學(xué)書(shū)里面曾經(jīng)用這樣的例子說(shuō)明伯努利原理：

 

 

但如果實(shí)際做這個(gè)實(shí)驗(yàn)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)流動(dòng)完全不符合伯努利原理。原因是在管流中粘性力起決定性作用，而沿流向應(yīng)用伯努利方程的條件是定常、不可壓、無(wú)粘。很顯然，湍流屬于非定常流動(dòng)，所以定常的條件限制了流動(dòng)必須是不可壓。不可壓是不可能絕對(duì)滿(mǎn)足的，不過(guò)馬赫數(shù)足夠小時(shí)，流動(dòng)幾乎是不可壓的。無(wú)粘也不可能絕對(duì)滿(mǎn)足，粘性很小的流動(dòng)對(duì)應(yīng)的是雷諾數(shù)足夠大。然而問(wèn)題是，當(dāng)雷諾數(shù)足夠大時(shí)，流動(dòng)就會(huì)使湍流，所以雷諾數(shù)足夠大，并不能保證流動(dòng)滿(mǎn)足伯努利方程。
現(xiàn)在來(lái)分析下面管道流動(dòng)：

 

 

它并不是典型的管道流動(dòng)，而是和管道的入口段流動(dòng)類(lèi)似，壁面的邊界層很薄，主流是滿(mǎn)足伯努利方程的。邊界層的影響是改變了主流的有效流通面積，所以伯努利方程還是可以計(jì)算這類(lèi)問(wèn)題的，但面積要做修正。
然而，要滿(mǎn)足這種流動(dòng)是有條件，就是雷諾數(shù)要足夠高。如果雷諾數(shù)很低，邊界層就很厚，就會(huì)像圖中所示這樣占滿(mǎn)通道，伯努利方程就完全不適用了。

 

 

伯努利原理大概是最深入人心的流體力學(xué)知識(shí)了，其實(shí)它的適用范圍很有限，之所以貌似應(yīng)用廣泛，是因?yàn)槿祟?lèi)的活動(dòng)大約符合他。如果是細(xì)菌來(lái)寫(xiě)流體力學(xué)書(shū)，伯努利原理就完全不會(huì)出現(xiàn)，反而是亞里士多德的“力是維持物體運(yùn)動(dòng)的原因”會(huì)被奉為經(jīng)典。而對(duì)超音速飛機(jī)而言，激波和膨脹波才是流動(dòng)的主旋律。即使在我們身邊，也并不存在精確滿(mǎn)足伯努利方程的流動(dòng)，使用它時(shí)要小心。
當(dāng)流動(dòng)馬赫數(shù)很低時(shí)，雷諾數(shù)是流動(dòng)的主要決定因素，比如這個(gè)繞機(jī)翼的低速流動(dòng)中，外流是符合伯努利方程的。雷諾數(shù)通過(guò)影響邊界層厚度而影響外流的壓力分布。這其中還有兩個(gè)更大的影響，就是雷諾數(shù)會(huì)影響邊界層轉(zhuǎn)捩點(diǎn)和分離點(diǎn)。

 

 

轉(zhuǎn)捩使邊界層增厚，對(duì)外流有一定向外排擠的作用。分離使邊界層離開(kāi)，避免對(duì)外流有非常大的向外排擠作用。邊界層厚度通常很薄，本身的一點(diǎn)變化對(duì)主流影響很小。而轉(zhuǎn)變和分離就不同了，經(jīng)常是繞物體流動(dòng)問(wèn)題中最大的影響因素。如果流動(dòng)是無(wú)粘且不可壓的，壓力分布本來(lái)與流速是無(wú)關(guān)的，或者說(shuō)流動(dòng)是受雷諾數(shù)和馬赫數(shù)的影響，而不是流速和尺度本身。對(duì)于高速流動(dòng)，馬赫數(shù)通常是流動(dòng)的決定性因素，這個(gè)圖表示了球的阻力系數(shù)：

 

 

隨雷諾數(shù)和馬赫數(shù)的變化可以看出，低馬赫數(shù)下阻力系數(shù)隨雷諾數(shù)變化很大；而當(dāng)馬赫數(shù)接近1時(shí)，阻力系數(shù)基本不再隨雷諾數(shù)變化了。這是因?yàn)檫@時(shí)激波是流動(dòng)的主要決定因素。

 

 

對(duì)于跨音速和超音速的流動(dòng)，經(jīng)常不考慮雷諾數(shù)的影響，原因有兩點(diǎn)，一是激波的影響遠(yuǎn)大于粘性；二是高馬赫數(shù)通常對(duì)應(yīng)著高雷諾數(shù)。而雷諾數(shù)足夠高以后，流動(dòng)就不怎么受雷諾數(shù)受影響了，但也有例外，比如這個(gè)高超音速?zèng)_壓發(fā)動(dòng)機(jī)中，雷諾數(shù)和馬赫數(shù)就都是重要的。