奈奎斯特定理（Nyquist's Theorem）和香農(nóng)定理（Shannon's Theorem）是網(wǎng)絡(luò)傳輸中的兩個(gè)基本定理。

要搞清楚這兩個(gè)定理，我們要先弄懂一些術(shù)語定義：波特率（baud rate）、比特率（bit rate）、帶寬（bandwidth）、容量（capacity）、信噪比、電平等。

波特率

波特率（也稱信息傳送速率、碼元速率、符號(hào)速率、或傳碼率），其定義為每秒鐘傳送碼元的數(shù)目，碼元速率的單位為“波特”，常用符號(hào)“Baud”表示，簡寫為“B”。

一個(gè)數(shù)字脈沖就是一個(gè)碼元，我們用碼元速率表示單位時(shí)間內(nèi)信號(hào)波形的變換次數(shù)，即單位時(shí)間內(nèi)通過信道傳輸?shù)拇a元個(gè)數(shù)。若信號(hào)碼元寬度為T秒，則碼元速率B為：

比特率

比特率也稱數(shù)據(jù)傳輸速率，它的定義是單位時(shí)間內(nèi)可以傳輸?shù)谋忍財(cái)?shù)，單位為bps。比特率的計(jì)算公式為：

怎么理解比特率和波特率之間的關(guān)系呢？

我們可以假設(shè)一個(gè)信號(hào)只有兩個(gè)電平狀態(tài)，那么這個(gè)時(shí)候可以把低電平理解為“0”，高電平理解為“1”，這樣每秒鐘電平變化的次數(shù)也就是傳輸?shù)?，1個(gè)數(shù)了，即比特率 = 波特率。但是有些信號(hào)可能不止兩個(gè)電平，比如一個(gè)四電平的信號(hào)狀態(tài)，那么每個(gè)電平就可以被理解成“00”，“01”，“10”，“11”，這樣每次電平變化就能傳輸兩位的數(shù)據(jù)了，即比特率 = 2 × 波特率。

帶寬和容量

我們?cè)賮砜纯磶�寬和容量的概念。一般信道都有一個(gè)最高的信號(hào)頻率（注意不是波特率哦，頻率是指每秒鐘的周期數(shù)，而每個(gè)周期都會(huì)有幾次電平變化。。恩，看到區(qū)別了吧）和最低的信號(hào)頻率，只有在這兩個(gè)頻率之間的信號(hào)才能通過這個(gè)信道，這兩個(gè)頻率的差值就叫做這個(gè)信道的帶寬，單位是Hz。

信道的容量又是怎么回事呢？

我們知道數(shù)據(jù)在信道中傳輸會(huì)有他們的速度——比特率，這里面最高的比特率就叫做這個(gè)信道的容量，單位是bps。就好象每條公路都有他們的最高限速，那么所有在里面開的車都不會(huì)超過這個(gè)速度（這里我們假設(shè)違章的都被警察叔叔抓走了）。

口語中也會(huì)把信道容量叫做“帶寬”的，比如“帶寬10M的網(wǎng)絡(luò)”，“網(wǎng)絡(luò)帶寬是10M”等等。所以這兩個(gè)概念也很容易混淆：我們平常所說的“帶寬”不是帶寬，而是信道容量，這一點(diǎn)心里要清楚（雖然口頭上是改不掉了。。）

信噪比

如果我們?cè)谌寺曕须s的集市上向遠(yuǎn)處的一個(gè)人喊話，我們必定會(huì)提高自己的聲音的音量。我們所喊的話叫做信號(hào)，周圍環(huán)境的聲音是噪聲。我們的聲音越大（信號(hào)的功率越大），周圍環(huán)境越安靜則噪聲越小（噪聲的功率越小），對(duì)方就聽得越清楚。這說明信號(hào)和噪聲的功率比越大，越有利于信號(hào)的接收。信號(hào)和噪聲的功率比就叫做信噪比，用S/N表示，單位沒有量綱。由于信噪比有時(shí)數(shù)值很大，在一個(gè)通信線路的各個(gè)環(huán)節(jié)里面還要用它進(jìn)行計(jì)算，所以經(jīng)常對(duì)它取常用對(duì)數(shù)，再乘以10。所得的結(jié)果也叫做信噪比，不過這時(shí)的單位為分貝（db）。

電平

系統(tǒng)中某點(diǎn)的電平，是指該點(diǎn)的功率P（或電壓U）對(duì)某一基準(zhǔn)功率P0（或基準(zhǔn)電壓U0）的分貝比。也就是說，“電平”就是指電路中兩點(diǎn)或幾點(diǎn)在相同阻抗下電量的相對(duì)比值。這里的電量自然指“電功率”、“電壓”、“電流”并將倍數(shù)化為對(duì)數(shù)，用“分貝”表示，記作“dB”。簡單地說，電平就是兩個(gè)電壓或功率的比值的對(duì)數(shù)形式，例如：兩個(gè)功率P1和P2的數(shù)量比為10000倍，那么它們用對(duì)數(shù)表示的“分貝比”為：

10lg（P1/P2）=10lg10000=40 （dB）

因?yàn)楣β蔖和電壓U之間有如下的關(guān)系：P=U2/Z。所以功率P1/P2的分貝比，可按下式變換成電壓U1/U2的分貝比：

10lg（P1/P2）=10lg（U12/Z1）/（U22/Z2）=10lg（U12 Z2/U22Z1）

=10lg（U12 /U22）=10lg（U1/U2）2=20lg（U1/U2）

即：10lg（P/P0）=20lg（U/U0）

所以，用功率比表示時(shí)，前面乘的系數(shù)是10；用電壓比表示時(shí)，前面乘的系數(shù)是20。

當(dāng)基準(zhǔn)單位P0為1w時(shí)，對(duì)應(yīng)的電平為10lg（P/Iw），單位記為“分貝瓦dBw”；

當(dāng)基準(zhǔn)單位P0為1mw時(shí)，對(duì)應(yīng)的電平為10lg（P/Imw），單位記為“分貝毫瓦dBmw”；通常將“分貝毫瓦”簡寫為“dBm”；

當(dāng)基準(zhǔn)單位U0為1mv時(shí)，對(duì)應(yīng)的電平為20lg（U/Imv），單位記為“分貝毫伏dBmv”；

當(dāng)基準(zhǔn)單位U0為1μv時(shí)，對(duì)應(yīng)的電平為20lg（U/Iv），單位記為“分貝微伏dBμv”，通常將“分貝微伏”簡寫為“dB”。

介紹完了各個(gè)術(shù)語定義，再來看看這兩個(gè)定理說什么。

奈奎斯特定理

1924年，奈奎斯特（Nyquist）就推導(dǎo)出在理想低通信道下的最高碼元傳輸速率的公式： 　　

其中W是理想低通信道的帶寬，單位為赫茲；K是多相調(diào)制的相數(shù)。奈氏準(zhǔn)則的另一種表達(dá)方法是：每赫茲帶寬的理想低通信道的最高碼元傳輸速率是每秒2個(gè)碼元。若碼元的傳輸速率超過了奈氏準(zhǔn)則所給出的數(shù)值，則將出現(xiàn)碼元之間的互相干擾，以致在接收端就無法正確判定碼元是1還是0。對(duì)于具有理想帶通矩形特性的信道（帶寬為W），奈氏準(zhǔn)則就變?yōu)椋豪硐霂�通信道的最高碼元傳輸速率＝1WBaud，即每赫寬帶的帶通信道的最高碼元傳輸速率為每秒1個(gè)碼元。奈氏準(zhǔn)則是在理想條件下推導(dǎo)出的。在實(shí)際條件下，最高碼元傳輸速率要比理想條件下得出的數(shù)值還要小些。電信技術(shù)人員的任務(wù)就是要在實(shí)際條件下，尋找出較好的傳輸碼元波形，將比特轉(zhuǎn)換為較為合適的傳輸信號(hào)。

需要注意的是，奈氏準(zhǔn)則并沒有對(duì)信息傳輸速率（b/s）給出限制。要提高信息傳輸速率就必須使每一個(gè)傳輸?shù)拇a元能夠代表許多個(gè)比特的信息。這就需要有很好的編碼技術(shù)。

根據(jù)奈奎斯特準(zhǔn)則我們可以推斷出：

（1）給定了信道的帶寬，則該信道的極限波特率就確定了，不可能超過這個(gè)極限波特率傳輸碼元，除非改善該信道的帶寬；

（2）要想增加信道的比特傳送率有兩條途徑，一方面可以增加該信道的帶寬，另一方面可以選擇更高的編碼方式。

例1：假設(shè)一個(gè)傳四進(jìn)制數(shù)據(jù)信號(hào)的無噪聲數(shù)字信道，帶寬為3000Hz，求其信道容量。

奈奎斯特定理適用的情況是無噪聲信道，用來計(jì)算理論值。一根針掉在地上還有聲音呢，沒有噪聲的信道在現(xiàn)實(shí)中是不存在的。

那么有噪聲的信道該如何計(jì)算呢？這下輪到香農(nóng)定理出馬了！

香農(nóng)定理

1948年，在《通信的數(shù)學(xué)原理》（Mathematical Theory of Communication）一文中，香農(nóng)博士（Claude Elwood Shannon）提出了著名的香農(nóng)定理，為人們今天通信的發(fā)展墊定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。

香農(nóng)定理指出，在噪聲與信號(hào)獨(dú)立的高斯白噪信道中，假設(shè)信號(hào)的功率為S，噪聲功率為N，信道通頻帶寬為W(Hz)，則該信道的信道容量C有：

這就是香農(nóng)信道容量公式。從公式中我們可以看出，對(duì)于一定的信噪比和一定的傳輸帶寬，它的傳輸速率的上限就確定了，這個(gè)極限是不能夠突破的。由香農(nóng)信道容量公式可得出以下結(jié)論：

（1）提高信道的信噪比或增加信道的帶寬都可以增加信道容量。

（2）當(dāng)信道中噪聲功率N無窮趨于0時(shí)，信道容量C無窮趨于無限大，這就是說無干擾信道的信道容量可以為無窮大。

（3）信道容量C一定時(shí)，帶寬W與信噪比S/N之間可以互換，即減小帶寬，同時(shí)提高信噪比，可以維持原來信道容量。

（4）信噪比一定時(shí)，增加帶寬W可以增大信道容量。但噪聲為高斯白噪聲時(shí)（實(shí)際的通信系統(tǒng)背景噪聲大多為高斯白噪），增加帶寬同時(shí)會(huì)造成信噪比下降，因此無限增大帶寬也只能對(duì)應(yīng)有限信道容量。

例1：有一個(gè)經(jīng)調(diào)制解調(diào)器傳輸數(shù)據(jù)信號(hào)的電話網(wǎng)信道，該信道帶寬為3000Hz，信道噪聲為加性高斯白噪聲，其信噪比為20db，求該信道的信道容量。

例2：已知僅存在加性高斯白噪聲的信道容量為33.6Kbit/s，其信號(hào)噪聲功率比為30db，求此模擬信道的帶寬為多少？

例3：考慮一個(gè)極端的噪聲信道，其中信噪比近似于零。換言之，噪聲很強(qiáng)使得信號(hào)很微弱。對(duì)于該信道，計(jì)算它的信道容量如下：

也就是說，該信道上噪聲完全淹沒了有效信號(hào)，在終端無法識(shí)別還原，因此該信道不適合傳輸數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)傳輸能力為0。

香農(nóng)定理的偉大之處在于它的理論指導(dǎo)意義。香農(nóng)公式給出頻帶利用的理論極限值，即在有限帶寬、有噪聲的信道中存在極限傳輸速率，無論采用何種編碼都無法突破這個(gè)極限。另外香農(nóng)定律還告訴我們，在信帶容量一定的情況下，信噪比和帶寬可以互換。

比如航天技術(shù)中的宇際通信，由航天器發(fā)回的信號(hào)往往掩埋在比它高幾十分貝的宇宙噪聲之中，雖然信號(hào)非常微弱，但香農(nóng)公式指出信噪比和帶寬可以互換，只要信噪比在理論計(jì)算的范圍內(nèi)，我們總可以找到一種方法將有用信號(hào)恢復(fù)出來。另外，如移動(dòng)通信中的多址接入技術(shù)（FDMA、TDMA、CDMA、SDMA以及OFDM），還有各種信源編碼、信道傳輸編碼、糾錯(cuò)編碼技術(shù)等等，都得益于香農(nóng)定理。在xDSL傳送系統(tǒng)中，人們正是選擇了合理的信道編碼技術(shù)（DMT和CAP編碼調(diào)制方式），可以保證信息在有限的通頻帶寬內(nèi)可靠的傳遞，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的高速傳輸，滿足了人們寬帶上網(wǎng)的需求。